Matematikçiler yapay zekaya 50 'zorlu' problemi teslim etti: İşte liste.

He, "Matematikte açık varsayımları çözmek büyük bir kültür. Fields Medal'ların çoğu bu sayede alınıyor. Bu çok büyük bir olay" dedi.

Epoch AI neden bu listeyi istedi?

Yapay zekâ sistemlerinin ilerlemesini ölçen Epoch AI, bu listenin hazırlanmasını talep etti. Kurumun üst düzey araştırmacısı Greg Burnham, soruların geniş bir yelpazeyi kapsadığını belirtti. Son aylarda çeşitli şirketlerin yapay zekâ modelleri matematiğin en zorlu problemlerinin geniş bir kısmını çözmeye başladı.

Bu ayın başında OpenAI, Bin Yıllık Ödül Problemleri'nden biri olan Navier-Stokes denkleminin çözüldüğünü duyurdu.

Listeden henüz çözülenler ve OpenAI iddiası

Eylül sonuna kadar listeden birkaç soru çözüldü. Bunların bazıları tarihi öneme sahipti. Resmi liste hâlâ çözülmemiş sorularla dolu. OpenAI ise henüz piyasaya sürülmemiş dahili modelinin 100'den fazla açık soruyu çözdüğünü açıkladı.

Burnham, "Tahminim bu modelin listeden en az birkaçını da içerdiği yönünde" dedi.

Üç küpün toplamı: 114 sayısı bekliyor

Matematikçiler, x³ + y³ + z³ = k denkleminde k=114 için tam sayı çözümü arıyor. En küçük çözümün 30 basamak civarında olacağı tahmin ediliyor.

2020'de Andrew Booker ve Andrew Sutherland, k=42 için çözümü 1,3 milyon bilgisayar saatiyle, gönüllü ev bilgisayarlarıyla bulmuştu.

Aynı yöntem 114 için denenirse maliyet 100 milyon doları bulabilir; bu yüzden körlük kraft brute-force yöntem gerçekçi değil. Çözümün kontrolü basit: bulunan sayıları denkleme yerleştirip eşleşip eşleşmediğine bakmak yeterli.

Apéry tarzı irrasyonellik kanıtı: Zeta(5) için söylentiler

İki tam sayının bölümü olarak yazılamayan sayılara irrasyonel denir. Pi ve √2 bilinen örnekler. Pi'nin irrasyonel olduğu kanıtlanması iki bin yılını aldı.

1978'de Fransız matematikçi Roger Apéry, zeta(3) sayısının irrasyonel olduğunu kanıtladı. Zeta sayıları, asal sayıların dizilimistatistiksel desenlerini tanımlayan Riemann zeta fonksiyonundan gelir.

Apéry, fonksiyonu tam doğru hızda yakınsayan iki sonsuz dizi arasına sıkıştırarak kanıtı elde etti. Nasıl bulduğunu sorulduğunda "bir saksıda buldum" cevabını verdi; gizem hâlâ çözülmedi.

Burnham, "Zeta(5) için Apéry tarzı güvenilir bir çözüm dolaşıyor" dedi. Eğer Apéry'nin mantığı yeniden kurulamazsa zeta fonksiyonunun tek değerlerinin irrasyonelliği kanıtı tamamlanamaz.

Yalnız Koşucu Varsayımı: 1967'den beri açık

Dairesel bir pistte, farklı ve sabit hızlarda koşan bir grup koşucu düşün. Varsayım, bir koşucunun bir anda diğer tüm koşuculardan en uzakta (en 'yalnız') kalacağını öngörür. Matematikçiler bu düzeni bozan bir hız kombinasyonu (kontrörnek) arıyor. Problem 1967'den beri çözülmedi.

Jones Düğüm Varsayımı: Basit bir halka bile kafa karıştırıyor

Bağlanmış bir iplik uzundur. Aslında düğümlü mü, sadece bir halka mı? 1984'te Vaughan Jones, düğümlere polinom atayan bir yöntem icat etti; bu keşif ona Fields Medal kazandırdı.

İki düğümün Jones polinomları farklıysa düğümler farklıdır. Ama tersi doğru değil: farklı düğümler aynı polinoma sahip olabilir. İki veya daha fazla bağlantılı düğümler için bu belirsizlik biliniyor.

Soru şu: En basit düğüm, yani 'çözülmüş halka' (unknot), triviyel polinom 1'e sahiptir. Matematikçiler, gerçekten düğümlü bir ipliğin de polinom 1 olabileceğini güçlü bir şekilde tahmin ediyor. Tek bir örnek, Jones polinomlarının düğüm varlığını güvenilir tespit edemeyeceğini kanıtlar.

Onay Tabanlı Seçimlerde 'Core' Sorusu: İnsan ve yapay zekâ birlikte çözdü

1.000 kişilik bir kasaba 10 üyeli bir konsey seçiyor. Herkes istediği kadar aday seçebilir. Adil seçim demek, her grubun nüfus oranında temsil edilmesi. 300 kişilik bir grubun 3 koltuğu olmalı.

Bir seçmen konseyde 1, alternatif listede 2 tercihini kazanıyorsa ve grubun herkesinde böyleyse, grup meşru bir itiraz hakkına sahiptir. Oyun teorisinden gelen 'core' kavramı, hiçbir grubun itiraz edemeyeceği konseyi tanımlar.

2016'da bilgisayar bilimcileri her seçimin en az bir 'core' konseyi olup olmadığını sordu. Yıllarca sadece küçük örnekler (2025'te 15 aday) çözülebildi. 10 Eylül'de Almanya, Fransa ve İngiltere'den üç araştırmacı, arXiv.org'da önbaskı yayınlayarak her seçimin adil bir konseyi olduğunu ve bunu bulmanın verimli bir yolu olduğunu kanıtladı.

Yöntem her grubu kontrol etmiyor; kanıt üretilen konseyin adil olduğunu garanti ediyor. Araştırmacılar yapay zekâyı asistan olarak kullandı ve sonucu Lean kanıt asistanıyla doğruladı.